25.设$\left| z+\sqrt{3}+i\right| \leq 1$,求$\left| z\right|$和argz的最大值和最小值.
解：
设$\left| z\right| =x+yi$
得：$\left| \left( x+\sqrt{3}\right) +\left( y+1\right) i\right| \leq 1$
$\sqrt{\left( x+1\right) ^{2}+\left( y+1\right) ^{2}}\leq 1$
$\left( x+\sqrt{3}\right) ^{2}+\left( y+1\right) ^{2}=1$
即， 复数z在复平面内对应的点到复数$-\sqrt{3}-i$在复平面对应的点$M\left( -\sqrt{3},-1\right)$的距离不大于1.
$\left| z+\sqrt{3}+i\right| =1$是以$-\sqrt{3}-i$为圆心，以1为半径的圆；
满足$\left| z+\sqrt{3}+i\right| \leq 1$的$z$是位于这圆内部和圆周上的点所对应的复数。
$\left| \overrightarrow{OM}\right| =\sqrt{\left( -\sqrt{3}\right) ^{2}+\left( t\right) ^{2}}=2$
$\left| z_{\max }\right| =2+1=3$,
$\left| z_{\min }\right| =2-1=1$
解得模的最大值是3，最小值是1
d=\dfrac{Ax_{0}+By_{0}+c}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

过原点做圆的切线，设这个切线为
$y=mx$
由圆点到切线的距离故公式$d=\dfrac{Ax_{0}+By_{0}+c}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
得：$m=0,m=\sqrt{3}$
\tan \theta =0或tan\theta =\sqrt{3}
\theta =\dfrac{4\times \pi }{3},\theta =\pi 
argz的最大值是$\dfrac{4\pi }{3}$ ，最小值是$\pi$。


（1）
$\because\left| \left| z_{1}\right| -\left| z_{2}\right| \right| \leq \left| z_{1}\pm z_{2}\right| \leq \left| z_{1}\right| +\left| z_{2}\right|$
$\therefore\left| \left| z\right| -\left| \sqrt{3}+i\right| \right| \leq 1$
$\therefore-1 \leqslant |z|-|\sqrt{3}+\mathrm{i}| \leqslant  1$
$\therefore-1 \leqslant |z|-2 \leqslant  1$
$\therefore 1 \leqslant |z| \leqslant  3$
综上所述，结论是：$|z|$的最大值为$3$，最小值为$1$